Capital Asset Pricing Model (CAPM): 베타(Beta)란? (III)

Capital Asset Pricing Model (CAPM): 베타(β: Beta)란? (III)

개별 주식과 시장 전체의 연관성을 측정하는 지표다.

CAPM에서, 우리가 베타의 정의(definition)를 보고 그 뜻을 바로 이해하기는 쉽지 않다. Cov(R_i,R_m)/σ²(R_m)라고 정의(define)된 베타를 왜 R_i(주식 i의 수익률, 즉 주식 i)와 R_m(시장 전체의 수익률, 즉 시장 전체)의 연관성을 측정하는 지표라고 하는 것일까?

 

베타는 선형 회귀분석(Linear Regression)에서 직선의 기울기를 나타내는 계수(Coefficient)다, 즉 R_i와 R_m의 선형(Linear: 직선) 관계를 나타내는 계수다.

     포트폴리오(Portfolio) 이론은 투자자들이 예상 수익률(Expected Rate of Return)과 예상 수익률의 표준편차(Standard Deviation)를 사용해서 수익성(Return)과 리스크(Risk)을 판단한다고 가정하고 있고, 이러한 가정(Assumption) 아래서는 하나의 자산에만 투자하는 것보다 여러 개의 자산으로 구성된 포트폴리오에 투자하는 것이 리스크 대비 보다 높은 수익률을 올릴 수 있다는 것을 보여 주고 있다. 따라서 포트폴리오 투자를 하는 것이 합리적이고, 합리적인 투자자들이라면 리스크 대비 수익률을 최대화 할 수 있는 포트폴리오에 투자할 것이다. 그리고 이러한 투자 활동의 결과로 자산의 시장가격이 형성될 것이다.
     여기에 각 자산의 시장가격(또는 수익률)은 두 가지 요인에 의해 결정된다고 “가정해 보자”: 하나는 시장 전체의 좋고 나쁨, 즉 경기의 좋고 나쁨이라는 요인이고, 다른 하나는 시장과는 상관 없는 개별 기업(즉 자산) 특유의 경영 능력, 제품에 대한 수요 등의 요인에 의해 시장가격, 즉 수익률이 결정된다고 보는 것이다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같이 된다.
     R_i  =  α_i + β_iR_m + e_i               (1)
     여기서 R_m은 시장 전체적 요인을, e_i는 개별 기업적 요인을 의미.
이 경우에, 포트폴리오 투자를 하게 되면, 개별 기업 특유의 요인으로 인한 부분, 즉 e_i는 서로 상쇄되어 없어질 수 있다. 물론 그렇게 되려면 주식시장의 규모도 크고 또 충분히 성숙된 시장이어야 하지만, 일단 그렇다고 “가정하면”, 즉 E(e_i) = 0라고 가정하면, 수식 (1)의 예상값(Expected Value 또는 기댓값)은 다음과 같이 된다.
     E(R_i) =  α_i + β_i E(R_m)               (2)
위 수식 (2)를 말로 설명하면, 주식 i의 예상 수익률은 시장 전체의 예상 수익률에 β_i를 곱한 값에 상수 α_i를 더한 값이라는 것인데, α_i는 상수, 즉 변하지 않는 값이니까, 예상 시장수익률 E(R_m)이 경기 상황에 따라 결정되고 나면 주식 i의 예상 수익률은 β_i에 의해 결정된다는 이야기가 된다. 위의 식 (1)과 (2) 같은 R_i와 R_m 사이의 관계를 선형 관계(Linear Relationship)라 하고, (1)과 (2) 같은 관계를 가정하고 α_i와 β_i의 값을 계산하는 것을 회귀분석(Regression Analysis)이라 한다. 이때 β_i는 R_i와 R_m 사이에 형성되는 직선의 기울기가 된다, 즉 R_i와 R_m의 직선적 관계를 설명해 주는 계수인 것이다.
     여기서 CAPM을 생각해 보자. CAPM에 의하면 E(R_i) 값에 대해 E(R_i) = R_f + β_i {E(R_m) - R_f} 라는 관계가 성립된다. 그런데 수식 (2)에 의하면 E(R_i) =  α_i + β_i E(R_m) 라는 관계가 성립된다. 그렇다면 CAPM에서의 베타(β_i)와 수식 (2)에서의 베타(β_i)는 같은 것인가? 그렇다, 수학적으로 정확하게 일치한다. 수식 (2)에서의 베타 값, 즉 직선 관계의 기울기를 구하는 공식은 Cov(R_i,R_m)/σ²(R_m) 으로, CAPM에서 베타의 정의와 정확하게 일치한다. 그러니까 CAPM에서 정의된 베타는, R_i와 R_m이 선형(직선) 관계를 갖고 있다고 가정했을 때, 그 직선 관계의 기울기에 해당하는 것이다, 즉 R_i와 R_m의 직접적(직선적) 관계를 나타내는 수치로, 개별 주식 i와 시장 전체의 연관성을 측정하는 수치가 되는 것이다.

One-Index Model, Multi-Index Model

     우리는 포트폴리오 이론을 이용해 E(R_i) = R_f + β_i {E(R_m) - R_f} 이라는 CAPM을 개발했다, 즉 주식 i의 예상 수익률인 E(R_i)를 구하기 위해 CAPM을 사용한 것이다. 그런데 E(R_i)는 수식 (2)를 통해서도 구할 수 있다. 수식 (2)에 의하면 E(R_i)는 한 개의 독립변수(Independent Variable)인 E(R_m)에 의해 결정되기 때문에 수식 (2) 와 같은 모델을, CAPM과 구분하여, One-Index Model 또는 One-Factor Model이라고 한다. 수식 (2)에서 독립변수가 E(R_m), 시장 수익률이기 때문에 수식 (2)를 Market Model이라고 하기도 한다.
     결국 CAPM도 한 개의 독립변수 E(R_m)만을 사용하기 때문에 One-factor model이라 할 수 있다. 여기에서, E(R_i)가 반드시 한 개의 변수에 의해서만 결정된다고 볼 수는 없지 않느냐는 생각이 자연스럽게 나오게 되면서, E(R_m) 이외의 새로운 변수들을 찾아서 추가하는 Multi-factor model이 나오게 된다.