자본비용(Cost of Capital)과 Systematic Risk

자본비용(Cost of Capital)과 Systematic Risk

베타(β: Beta), Systematic Risk, Unsystematic Risk, Total Risk
 

CAPM(Capital Asset Pricing Model)은 적절한 할인율(Discount Rate), 즉 적절한 자본비용을 계산하는 방법을 제시하고 있다고 한다. 그런데, 적절하다는 것은 무엇에 대해 적절하다는 것인가? 그것은 위험 수준(Risk)을 고려했을 때 적절하다는 것이다. 그러니까, 주식(또는 프로젝트, 기업 등)의 위험성을 고려했을 때, 그 정도의 할인율이라면 적절한 보상이 이루어진 것이라는 의미이다.

 

Total Risk = Systematic Risk + Unsystematic Risk

     i라는 주식이 있다고 하고, 이 주식의 수익률을 R_i로 표시했을 때, 포트폴리오(Portfolio) 이론에서는 투자자들이 이러한 주식의 위험성(Risk)을 R_i의 표준편차(Standard Deviation)로 측정한다고 가정했다. 통계학에서 표준편차의 “정의”가 분산(Variance)의 1/2 제곱이기 때문에, 위험성의 지표로 표준편차 대신 분산을 사용해도 결론은 같아지는데, 분산을 사용하는 것이 위험성을 설명하는 데 더 편리한 경우가 많기 때문에 흔히 분산을 사용해서 위험성을 정의하고 설명하는 경우가 많다.
     따라서 주식 i의 위험성(Risk)을 포트폴리오 이론에 따라 R_i의 Variance(분산), 즉 Var(R_i)라고 정의(Define)해 보자. 그리고 앞에서 설명한 One-Index Model이 다음과 같은 관계를 가정(Assume)하고 있음을 생각해 보자.

     R_i  =  α_i + β_iR_m + e_i               (1)

그러면 주식 i의 위험성, 즉 Var(R_i)는 다음과 같이 된다.

     Var(R_i) = (β_i)² Var(R_m) + Var(e_i)        (3)

여기서 R_i의 분산, 즉 Var(R_i)가 위의 (3)과 같이 되는 이유는 R_m과 e_i 사이에 아무 관계가 없다고 “가정하기 때문”이다, 즉 R_m과 e_i의 공분산(Covariance)이 영(Zero)이라고 가정하기 때문이다. (통계학에서 분산과 공분산을 아직 안 배웠거나 잘 모른다면, 몇 가지 가정 아래서 위 (3)과 같은 관계가 성립한다는 정도로 이해하고 그냥 넘어가도 괜찮다, 박사 과정을 하는 게 아니라면 - - -)

     위의 (3)은 주식 i의 위험성 전체(Total Risk)를 두 부분으로 나누어 생각할 수 있음을 보여 주고 있다. 즉, 주식 i의 위험성 전체인 Var(R_i)가  (β_i)² Var(R_m)와  Var(e_i),  두 부분으로 구성되어 있음을 보여 주고 있는데, 위 (3)의 각 부분에 대해 다음과 같은 용어를 사용한다.

     Var(R_i) :  Total Risk

     (β_i)² Var(R_m) :  Systematic Risk 또는 Undiversifiable Risk 또는 Market Risk
     Var(e_i) :  Unsystematic Risk 또는 Diversifiable Risk 또는 Firm-specific Risk

Total Risk는 위험성 전체를 의미하는데, 이 가운데 시장 전반의 구조적 요인으로 인해 영향받게 되는 위험성 부분을 “Systematic Risk”, 즉 “시장 구조적 위험성”이라 하고(우리말로 “체계적 위험”이라는 용어를 많이 쓰는데, 선뜻 이해하기에 좋은 용어는 아니다), 시장 상황과 무관한 개별 기업 특유의 요인으로 인해 발생하는 위험성 부분을 “Unsystematic Risk”, 즉 “시장 구조와 무관한 위험성”이라 한다.

     Systematic Risk는 포트폴리오를 구성하여 다양한 주식에 분산 투자를 한다 하더라도 제거할 수가 없다는 의미에서 “Undiversifiable Risk”, 즉 “분산이 가능하지 않은 위험성”이라고도 하고, 또 시장 상황 때문에 발생하는 위험성이라는 의미에서 간단히 “Market Risk”, 즉 “시장 위험성”이라고도 한다. 반면에 Unsystematic Risk는 포트폴리오를 구성해서 분산 투자를 함으로써 제거가 가능한 위험성이라는 의미에서 “Diversifiable Risk”, 즉 “분산이 가능한 위험성”이라고도 하고, 개별 기업 특유의 성격으로 인한 위험성이라는 의미에서 “Firm-specific Risk”, 즉 “기업 특유의 위험성”이라고도 한다.
     포트폴리오 이론에 의하면, 다양한 종류의 주식으로 포트폴리오를 구성할 때, 개별 주식들의 Unsystematic Risk는 서로 상쇄되어 영에 가깝게 되고, Systematic Risk 부분만 남게 된다고 하는데, 이러한 사실은 포트폴리오 수익률의 Variance를 수리적으로 도출함으로써 입증할 수 있다. (그리 어려운 것은 아니나, 여기서도 전체 수리적 도출 과정은 생략하기로 하고, 참고로 일부 핵심적 부분만을 설명하면 다음과 같다.)

포트폴리오(Portfolio) 투자를 하면 Unsystematic Risk를 거의 영으로 만들 수 있다.

     위의 식 (1)과 (3)에서, 개별 주식 i에 대한 수익률 R_i 대신, 포트폴리오 전체에 대한 수익률을 R_p로, 포트폴리오 전체 수익률에 대한 베타를 β_p로, 포트폴리오에 포함된 개별 주식 e_i 의 합계를 e_p 로 표시하면, 포트폴리오의 수익률은 다음과 같이 표시된다.

     R_p  =  α_p + β_pR_m + e_p               (4)

위의 식 (4)를 이용해서, (3)의 경우보다는 조금 복잡한 과정을 거쳐 포트폴리오 수익률의 Variance, 즉 Var(R_p)를 도출해 보면, 포트폴리오에 포함된 주식 수가 증가함에 따라 e_p 부분은 무시해도 괜찮을 정도로 작아지고 β_pR_m 부분만 남게 됨을 보일 수 있다. 이는 무엇을 의미하는가?

자본비용을 결정하는 것은 Total Risk가 아니라 Systematic Risk다.

     포트폴리오 투자를 하는 투자자들의 입장에서 보면, 개별 주식의 리스크에 대해 합당한 보상(즉 합당한 수익률)을 요구할 때, 개별 주식(즉 기업) 특유의 성격으로 인해 발생하는 리스크에 대해서는 보상을 요구할 필요가 없다는 것이다, 시장 전체 상황과 연관된 리스크 부분에 대해서 만 보상을 요구하면 된다는 것이다. 다시 말해, Unsystematic Risk에 대해서는 보상(즉 수익률)을 요구할 필요가 없고, Systematic Risk에 대해서만 보상을 요구하면 된다는 의미로, 투자자들이 보상을 요구해야 하는 부분은 리스크 전체(Total Risk)에 대해서가 아니라 Systematic Risk 부분에 대해서 만이라는 것이다. 그리고 이러한 Systematic Risk가 어느 정도인지를 측정하는 도구가 베타(β: Beta)인 것이다.
     이를 자본의 수요자인 기업의 입장에서 보면, 기업이 지불하게 되는 자본비용은 기업의 Total Risk가 아니라 Systematic Risk 부분에 의해서 결정된다는 것을 의미한다. 따라서 특정 주식(즉 기업)의 수익률 변동폭이 커서 주식 자체의 위험성은 높다 하더라도(즉 Total Risk인 Variance가 크다 하더라도), 이러한 수익률의 변동이 시장 전반의 수익률 변동과 별로 연관성이 없다면(즉 Systematic Risk가 크지 않다면), 투자자들 입장에서의 위험성은 그리 높은 것이 아니기 때문에 (즉 Systematic Risk의 측정치인 베타 값이 크지 않기 때문에) 요구 수익률을 높게 책정할 필요가 없고, 이는 기업 입장에서 자본비용이 높아지지 않는다는 것을 의미한다. 이것이 포트폴리오 이론에서 발전해 나간 CAPM과 One-Index Model이 자본비용의 결정에 대해 설명하는 핵심 내용이라 할 수 있다.
 

 

 

Capital Asset Pricing Model (CAPM): 베타(Beta)란? (III)

Capital Asset Pricing Model (CAPM): 베타(β: Beta)란? (III)

개별 주식과 시장 전체의 연관성을 측정하는 지표다.

CAPM에서, 우리가 베타의 정의(definition)를 보고 그 뜻을 바로 이해하기는 쉽지 않다. Cov(R_i,R_m)/σ²(R_m)라고 정의(define)된 베타를 왜 R_i(주식 i의 수익률, 즉 주식 i)와 R_m(시장 전체의 수익률, 즉 시장 전체)의 연관성을 측정하는 지표라고 하는 것일까?

 

베타는 선형 회귀분석(Linear Regression)에서 직선의 기울기를 나타내는 계수(Coefficient)다, 즉 R_i와 R_m의 선형(Linear: 직선) 관계를 나타내는 계수다.

     포트폴리오(Portfolio) 이론은 투자자들이 예상 수익률(Expected Rate of Return)과 예상 수익률의 표준편차(Standard Deviation)를 사용해서 수익성(Return)과 리스크(Risk)을 판단한다고 가정하고 있고, 이러한 가정(Assumption) 아래서는 하나의 자산에만 투자하는 것보다 여러 개의 자산으로 구성된 포트폴리오에 투자하는 것이 리스크 대비 보다 높은 수익률을 올릴 수 있다는 것을 보여 주고 있다. 따라서 포트폴리오 투자를 하는 것이 합리적이고, 합리적인 투자자들이라면 리스크 대비 수익률을 최대화 할 수 있는 포트폴리오에 투자할 것이다. 그리고 이러한 투자 활동의 결과로 자산의 시장가격이 형성될 것이다.
     여기에 각 자산의 시장가격(또는 수익률)은 두 가지 요인에 의해 결정된다고 “가정해 보자”: 하나는 시장 전체의 좋고 나쁨, 즉 경기의 좋고 나쁨이라는 요인이고, 다른 하나는 시장과는 상관 없는 개별 기업(즉 자산) 특유의 경영 능력, 제품에 대한 수요 등의 요인에 의해 시장가격, 즉 수익률이 결정된다고 보는 것이다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같이 된다.
     R_i  =  α_i + β_iR_m + e_i               (1)
     여기서 R_m은 시장 전체적 요인을, e_i는 개별 기업적 요인을 의미.
이 경우에, 포트폴리오 투자를 하게 되면, 개별 기업 특유의 요인으로 인한 부분, 즉 e_i는 서로 상쇄되어 없어질 수 있다. 물론 그렇게 되려면 주식시장의 규모도 크고 또 충분히 성숙된 시장이어야 하지만, 일단 그렇다고 “가정하면”, 즉 E(e_i) = 0라고 가정하면, 수식 (1)의 예상값(Expected Value 또는 기댓값)은 다음과 같이 된다.
     E(R_i) =  α_i + β_i E(R_m)               (2)
위 수식 (2)를 말로 설명하면, 주식 i의 예상 수익률은 시장 전체의 예상 수익률에 β_i를 곱한 값에 상수 α_i를 더한 값이라는 것인데, α_i는 상수, 즉 변하지 않는 값이니까, 예상 시장수익률 E(R_m)이 경기 상황에 따라 결정되고 나면 주식 i의 예상 수익률은 β_i에 의해 결정된다는 이야기가 된다. 위의 식 (1)과 (2) 같은 R_i와 R_m 사이의 관계를 선형 관계(Linear Relationship)라 하고, (1)과 (2) 같은 관계를 가정하고 α_i와 β_i의 값을 계산하는 것을 회귀분석(Regression Analysis)이라 한다. 이때 β_i는 R_i와 R_m 사이에 형성되는 직선의 기울기가 된다, 즉 R_i와 R_m의 직선적 관계를 설명해 주는 계수인 것이다.
     여기서 CAPM을 생각해 보자. CAPM에 의하면 E(R_i) 값에 대해 E(R_i) = R_f + β_i {E(R_m) - R_f} 라는 관계가 성립된다. 그런데 수식 (2)에 의하면 E(R_i) =  α_i + β_i E(R_m) 라는 관계가 성립된다. 그렇다면 CAPM에서의 베타(β_i)와 수식 (2)에서의 베타(β_i)는 같은 것인가? 그렇다, 수학적으로 정확하게 일치한다. 수식 (2)에서의 베타 값, 즉 직선 관계의 기울기를 구하는 공식은 Cov(R_i,R_m)/σ²(R_m) 으로, CAPM에서 베타의 정의와 정확하게 일치한다. 그러니까 CAPM에서 정의된 베타는, R_i와 R_m이 선형(직선) 관계를 갖고 있다고 가정했을 때, 그 직선 관계의 기울기에 해당하는 것이다, 즉 R_i와 R_m의 직접적(직선적) 관계를 나타내는 수치로, 개별 주식 i와 시장 전체의 연관성을 측정하는 수치가 되는 것이다.

One-Index Model, Multi-Index Model

     우리는 포트폴리오 이론을 이용해 E(R_i) = R_f + β_i {E(R_m) - R_f} 이라는 CAPM을 개발했다, 즉 주식 i의 예상 수익률인 E(R_i)를 구하기 위해 CAPM을 사용한 것이다. 그런데 E(R_i)는 수식 (2)를 통해서도 구할 수 있다. 수식 (2)에 의하면 E(R_i)는 한 개의 독립변수(Independent Variable)인 E(R_m)에 의해 결정되기 때문에 수식 (2) 와 같은 모델을, CAPM과 구분하여, One-Index Model 또는 One-Factor Model이라고 한다. 수식 (2)에서 독립변수가 E(R_m), 시장 수익률이기 때문에 수식 (2)를 Market Model이라고 하기도 한다.
     결국 CAPM도 한 개의 독립변수 E(R_m)만을 사용하기 때문에 One-factor model이라 할 수 있다. 여기에서, E(R_i)가 반드시 한 개의 변수에 의해서만 결정된다고 볼 수는 없지 않느냐는 생각이 자연스럽게 나오게 되면서, E(R_m) 이외의 새로운 변수들을 찾아서 추가하는 Multi-factor model이 나오게 된다.